高二下 · 知识点

两直线位置关系与距离公式

用斜率判定直线平行、垂直并计算点线距离

沪教版选择性必修第一册 · 第1章 1.3 位置关系与距离

解析几何
平行 与 垂直 · 距离公式l₁l₂daba ⊥ b平行：k₁ = k₂ 垂直：k₁ · k₂ = −1平行线距 d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)

图上分别画了平行线 l₁、l₂ 之间的距离 d，以及互相垂直的直线 a、b。

换个说法你就懂了

平行看斜率相等、垂直看斜率乘积为 -1。点到直线距离公式是「垂线段最短」的代数表达，做圆锥曲线大题时天天用。

核心公式 / 定理

  • 常用结论

    l₁∥l₂ ⟺ k₁=k₂；l₁⊥l₂ ⟺ k₁k₂=-1。

  • 符号与读法

    点 (x₀,y₀) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。

  • 常用结论

    两平行线 Ax+By+C₁=0 与 Ax+By+C₂=0 的距离为 |C₁-C₂|/√(A²+B²)。

  • 易错点

    使用点线距离公式前，要把直线化成一般式 Ax+By+C=0。

经典例题

2021年上海高考·填空题·点到直线距离

求点 (1,1) 到直线 3x+4y-2=0 的距离。

  1. 1① 点为 (1,1)，直线为 3x+4y-2=0，其中 A=3、B=4、C=-2。
  2. 2② 代入点线距离公式 d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)。
  3. 3③ 计算 d=|3+4-2|/√25=5/5=1。

答案：d=1

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