导数的几何意义与运算

曲线在点 P 处的切线斜率就是导数 f'(x₀)，由 Δy/Δx 取极限得到。

导数 f'(x₀) 是曲线在 x₀ 处切线的斜率，像汽车仪表上的「瞬时速度」。求导就是把幂指数搬到前面减一：xⁿ → n·x^(n-1)。

• 定义

  导数 f'(x₀) 是曲线在 x₀ 处切线的斜率，也即瞬时变化率。

• 符号与读法

  基本公式：(xⁿ)'=n·x^(n-1)，(sinx)'=cosx，(eˣ)'=eˣ，(lnx)'=1/x。

• 常用结论

  切线方程 y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)。

• 易错点

  区分「在 x₀ 处切线」与「过某点切线」，后者点不一定在曲线上。

求曲线 y=x³ 在点 (1,1) 处的切线斜率与方程。

1. 1① 对 y=x³ 求导得 y'=3x²。
2. 2② 在 x=1 处，切点 (1,1)、斜率 y'=3。
3. 3③ 代入点斜式 y-1=3(x-1)，整理得 y=3x-2。

答案：y=3x-2