利用导数研究单调性与极值

曲线上升处 f'>0 递增、下降处 f'<0 递减，山顶和谷底处 f'=0。

导数正负决定「上坡还是下坡」：f'(x)>0 递增、f'(x)<0 递减。极值点出现在导数变号处，就像山路从上升到下降的「山顶」。

• 常用结论

  f'(x)>0 时函数递增，f'(x)<0 时函数递减。

• 常用结论

  f'(x₀)=0 且左右变号时，x₀ 为极值点。

• 常用结论

  求闭区间最值需比较各极值与端点处的函数值。

• 易错点

  f'(x₀)=0 不一定是极值点，还须验证导数左右变号。

求 f(x)=x³-3x 的单调区间与极值。

1. 1① 求导 f'(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)。
2. 2② 由 f'(x) 符号判断：x<-1 或 x>1 时 f'(x)>0 递增，-1<x<1 时递减。
3. 3③ 极大值 f(-1)=2，极小值 f(1)=-2。

答案：极大值 2，极小值 -2